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MECÂNICA DOS MATERIAIS

Resistência dos Materiais

Outubro/2007

SUMÁRIO

1ª PARTE 1 . Propriedades mecânicas do dos materiais 3 2. Tensão e deformação – Carregamento axial 12 2ª PARTE 1 . Exercícios textuais 25 2 . Exercícios discursivos 29 3 . Bibliografia 37 1º PARTE:

1. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS, TENSÕES E DEFORMAÇÕES 1.1. Hipóteses ou suposições Simplificar o cálculo (comparação experimental)

1º) O material é considerado maciço (contínuo) Não se considera a estrutura atonística, descontínua da matéria. Os grãos da maioria dos materiais de construção são tão pequenos, que sem erro apreciável podem ser considerados contínuos. As dimensões reais são muito superiores às distâncias entre os átomos.

2º) o material das peças é homogêneo (uniforme) Tem propriedades idênticas em todos os pontos. Os metais são altamente homogêneos. Os materiais menos homogêneos são a madeira, o concreto, etc. Não obstante como demonstram os experimentos, os cálculos baseados nessa suposição dão resultados satisfatórios.

3º) O material das peças é isótropo Suas propriedades em todas as direções são iguais. As pesquisas demonstram que os cristais que formam muitos materiais tem propriedades muito distintas segundo as diferentes direções que se consideram. Por exemplo, a resistência dos cristais de cobre nas diferentes orientações se diferencia em mais de três vezes. Os materiais cujas propriedades em diferentes direções são diferentes se denominam arisótropos ou aclótropos. A grande maioria dos materiais da engenharia é constituída por um grande número de cristais caoticamente orientados ou distribuídos. Em conseqüência destra distribuição aleatória dos cristais, as propriedades dos materiais tornam-se essencialmente iguais em qualquer direção.

4º) As forças internas, originais, precedam a carga são nulas. Vamos calcular as forças internas em FG somente das cargas aplicadas. Considera-se que as forças internas prescindem (Não precisam das) das forças moleculares que existe no sólido submetido a carga. Este suposição não se cumpre plenamente em nenhum dos materiais. Nas peças de aço existem forças internas devido ao esfriamento não uniforme. Na madeira estas forças são originadas pelo secamento, tão pouco uniforme. O construtor, geralmente não conhece a magnitude destas forças. Nos casos em que existe motivo para suspeitar que estas forças são consideráveis, se procurará determinar experimentalmente.

5º) Princípio da superposição de cargas O efeito devido a ação conjunta sobre o corpo de um sistema de forças é igual a soma dos efeitos da ações destas forças, aplicadas consecutivamente em ordem arbitrária. Ex: A soma algébrica das 3(três) deformações isoladas, provocadas pelas cargas separadas, para um mesmo ponto, fornece a deformação total.

6º) Princípio de Saint-Venant (1797-1886) Adhemar Borre de Saint-Venant matemático e engenheiro francês. As tensões que atuam em um ponto interior de um sólido, bastante afastado da borda, só dependem da resultante destras cargas e não de sua lei de distribuição. 1.2. Sistemas de unidades de medidas Unificação mundial das medidas físicas para avaliar ou medir a grandezas. O sistema de unidades de medidas universalmente adotado (na XI Conferência Geral de Pesos e Medidas de 1960) tem por unidades fundamentais de interesse para mecânica e resistência de materiais:  Comprimento: metro (m)  Massa: quilograma (kg) MKS ou SI  Tempo: segundo (s) O sistema MKS ou SI é um sistema absoluto, pois as unidades fundamentais adotadas independem do local das medições. 1.3. Forças externas Cargas são forças que atuam sobre um corpo. As vigas são utilizadas para suportar uma grande variedade de carga. As cargas cuja magnitude ou ponto de aplicação (ou direção) varia muito lentamente de tal maneira que se pode prescindir das acelerações que surgem, se chamam cargas estáticas caso contrária, dinâmicas. 1.4. Deformações e deslocamentos Todos os sólidos sob a ação de forças externas, se deformam em uma ou outra medida, modificam suas dimensões, sua forma ou ambas as coisas simultaneamente. A variação das dimensões lineares se denominam def. linear (ε) e a dos ângulos, def. angular (γ). Quando as dimensões aumentam-se diz alongamento, quando diminuem, encurtamento. As definições que desaparecem ao retirar a carga se denominam def. elásticas. A propriedade se denomina elasticidade. Ao contrário de residuais ou plástica e plasticidade. Conhecendo as deformações e as condições de apoio, pode-se calcular os deslocamentos, Para uma estrutura, as deformações de seus elementos deverão ser elásticas e os deslocamentos que elas originam, inferiores a certos valores admissíveis. Estas condições se denominam condições de rigidez. 1.5. Método das Seções Um dos principais problemas de resistência dos materiais é a investigação da resistência interna de um corpo. Com este propósito, um critério uniforme de procedimento é utilizado: 1º) todas as forças externas ativando no corpo são apresentadas. É o diagrama de corpo livre (DCL); 2º) A seguir, passa-se uma seção arbitrária pelo corpo. Se o corpo como um todo acha-se em equilíbrio, qualquer parte do mesmo deve também estar em equilíbrio; 3º) Para equilibrar, então, as forças externas é necessário, no caso geral, aplicar à seção três forças internas N(normal), V(constante) e M (movimento); 4º) Depois, se escreve as equações de equilíbrio (∑Fx=0 , ∑Fy=0 e ∑Fm=0) da parte separada do sólido, das quais se obtém N,V e M. 1.6. Tensões - Intensidade das forças internas - Verificar a resistência da peça. Para se medir a intensidade das forças internas em um ponto, considere uma área ∆A ao redor deste ponto e seja ∆R(vetor) a resultante das forças internas que atuam sobre esta área. A intensidade média das forças internas ou tensão média Pm e no limite, tensão real ou no ponto será P. ∆A = área ao redor do ponto B. ∆R(vetor) = resultante das forças internas sobre ∆A. Tensão média Tensão real A decomposição da tensão P em normal σ e tangencial δ tem um sentido físico bem definido. A tensão normal τ surge quando as partículas do material tendem a separar-se ou a se aproximar. As tensões tangenciais ou de cisalhamento δ estão associados ao deslizamento das partículas do material em um plano da seção em questão. Se ao redor de um ponto se escolhe um elemento de forma cúbica infinitamente pequeno, então em suas faces atuarão o caso geral de tensões. 1.6.1. Tensões de cisalhamento e esmagamento Considere duas forças P e P’ aplicadas a uma barra AB, na direção transversal à barra. Forças transversais DCL de ASC P=P’ Distribuição de ao redor da barra tensão parabólica (não uniforme) A tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos ou rebites e pinos que ligam as diversas partes das estruturas. Considere as duas chapas A e B, a seguir, ligadas pelo rebite CD. Duas chapas A e B Rebite sujeito a ligadas pelo rebite CD a cisalhamento simples submetidas a F. Nas condições descritas dizemos que o rebite está sujeito a corte simples. Podem surgir outras situações de carregamento se as chapas de ligação CD são usadas para conectar as chapas A e B, o rebite HJ poderá ser cortado nos planos KK’ e LL’. Nesse caso os rebites se dizem sujeitos a corte duplo. Considere agora outra situação de carregamento. Os parafusos, pinos e rebites também geram tensões nos membros em que estão conectados ao longo da superfície de contato ou de esmagamento. Ao aplicarmos uma força F em um rebite desenvolve-se uma pressão altamente irregular entre o rebite (ou parafusos) e as placas. A intensidade normal média desta pressão é obtida dividindo-se a força transmitida pela área correspondente à projeção do rebite sobre a placa. 1.6.2. Tensões admissíveis; tensões últimas; coeficiente de segurança Limite de Utilização Limite de falha ou de ruptura CS = último/admissível No ensaio mais longamente conhecido, uma barra de seção circular é sujeita à tração sendo o corpo de prova (C.P) carregado até finalmente se romper. 1.7. Ruptura Para encaminhar qualquer estudo, precisamos saber como o material a ser usado vai atuar sob condições conhecidas de carregamentos. Podemos preparar o corpo de prova de ação e levá-lo a uma máquina a de testes, onde ele será submetido a uma carga axial de tração. Enquanto fazemos a força aplicada aumentar progressivamente de intensidade, podemos medir várias modificações por que passa o corpo de prova, como por exemplo, alterações no comprimento e no diâmetro. A máxima força que pode ser aplicada ao corpo de prova é atingida e a amostra se quebra, ou começa a perder resistência, suportando forças menores. Essa força máxima é chamada de carregamento último, ou carga de ruptura dessa amostra, e é designada pelo símbolo Pu. 1.8. Estricção e escoamento do material Quando o carregamento atinge um certo valor máximo, o diâmetro do corpo de prova começa a diminuir, devido a perda de resistência local que é conhecido como estricção. Após ter começado a estricção, um carregamento mais baixo é suficiente para manter o corpo de prova se deformando, até que sua ruptura se dê. A ruptura se dá segundo uma superfície em forma de cone, formando um ângulo de 45º com a superfície inicial do corpo de prova. A tensão σY corresponde ao inicio do escoamento é chamada tensão de escoamento do material. 1.9. Tenacidade Tenacidade é a energia mecânica, ou seja, o impacto necessário para levar um material à ruptura. Se um material é tenaz ele pode sofrer um alto grau de deformação sem romper. Tal energia pode ser calculada através da área num gráfico Tensão - Deformação do material, portando basta integrar a curva que define o material, da origem até a ruptura. Segundo a tenacidade um mineral pode ser: • Friável (frágil, quebradiço): Que pode ser quebrado ou reduzido a pó com facilidade. Ex: calcita, fluorita. • Maleável: Pode ser transformado facilmente em lâminas, Ex. ouro • Séctil: Pode ser facilmente cortado com um canivete. Ex ouro • Dúctil: Pode ser transformado facilmente em fios. Ex. ouro • Flexível: Pode ser dobrado, mas não recupera a forma anterior. Ex: talco • Elástico: Pode ser dobrado mas recupera a forma anterior. Ex. micas A tenacidade é muito usada pelos garimpeiros para diferenciar uma pepita de ouro de um fragmento de pirita, pois enquanto o ouro é extremamente maleável, a pirita é muito friável. Quando se está lidando com uma partícula muito pequena, da ordem de poucos milímetros, procede-se da seguinte forma para verificar se é maleável: a partícula é colocada entre dois pedaços de vidros planos, os quais são gentilmente apertado um contra o outro. Se a partícula for ouro será amassada, se for pirita se quebrará. Uma confusão comum ao termo é achar que um material duro é também tenaz, como exemplo temos o diamante, que só pode ser riscado por outro diamante (logo, extremamente rígido), mas pode ser quebrado se sofrer uma requisição muito alta como uma martelada. Fórmula para o cálculo da Tenacidade: 1.10. Encruamento dos metais 1.10.1. Definição e importância O encruamento de um metal pode ser definido como sendo o seu endurecimento por deformação plástica. O encruamento ocorre basicamente porque os metais se deformam plasticamente por movimento de discordâncias e estas interagem diretamente entre si ou com outras imperfeições, ou indiretamente com o campo de tensões internas de várias imperfeições e obstáculos. Estas interações levam a uma redução na mobilidade das discordâncias, o que é acompanhada pela necessidade de uma tensão maior para provocar maior deformação plástica. Daí, o encruamento. Muitas teorias têm sido propostas para explicar o encruamento. A maior dificuldade reside no fato de determinar como a densidade e a distribuição das discordâncias varia com a deformação plástica. Segundo COTTRELL: “O encruamento foi o primeiro problema que a teoria de discordâncias tentou resolver e será provavelmente último a ser resolucionado”. 1.10.2. O fracasso da equação mecânica de estado LUDWICK (1909) tentou modelar o comportamento mecânico dos metais pela seguinte matemática (equações): Equação de Estado σ = f (ε,ε0,T) independe da história mecânica e/ou térmica. Porém estudos posteriores mostraram que a equação de estado é inconsistente com o comportamento normal do metal. Mais tarde, COTTRELL e STOKES determinaram que a diferença de valores das tensões observadas para introduzir uma certa deformação plástica num metal a duas temperaturas diferentes pode ser dividida em duas componentes: a: Uma componente reversível com a temperatura b: Uma componente que representa a diferença de encruamento produzida pela deformação em duas temperaturas. Verificou-se também que um processo de “recuperação”, dependente de T e ε, pode ocorrer simultaneamente com o processo primário de deformação. 1.11. Curva de descarga A curva de descarga representa a relação entre vazão e nível do rio e permite estimar as vazões a partir de observações de nível. Sua determinação é possível a partir de medições diretas de vazão que são realizadas em caracter eventual. Geralmente a faixa de vazões medidas é inferior a amplitude dos níveis atingidos pelo rio, exigindo a extrapolação da curva de descarga na faixa sem medições. Para tanto podem ser utilizados diversos métodos dos quais vários levam em consideração as características geométricas e hidráulicas do canal, como o método de Stevens que serviu de base ao presente trabalho. Com o objetivo de facilitar a manipulação da grande quantidade de dados envolvidos neste processo foi desenvolvido em Delphi o software STEVENS. Este sistema utiliza como dados de entrada as medições de vazão e o levantamento topobatimétrico da seção transversal do rio. São ajustadas doze diferentes curvas, as quais são obtidas a partir da geometria da seção e de doze funções relacionando fator de declividade k com a cota h. O sistema permite a saída de dados no formato tabular da curva de descarga e das grandezas geométricas da seção permitindo também a interface com CAD (Microstation®). 1.12. Flambagem Alguns tipos de esforços tendem a provocar instabilidades físicas nos elementos que os suportam. A figura a seguir deste tópico indica uma barra reta, sem esforços externos atuantes. Na realidade, o "reto" geométrico não existe na prática e pode-se considerar a barra ligeiramente curva, conforme representação, de forma exagerada, em (b) da mesma figura. Se um esforço de tração é aplicado como em (c) da figura, a tendência é uma redução da curvatura, ou seja, uma aproximação com a reta ideal e, com o aumento da força, a falha ocorre devido ao escoamento (plastificação) ou à ruptura do material. Se a barra é comprimida como em (d) da figura, as forças atuantes tendem a aumentar a curvatura original. Isso não significa que qualquer valor da força de compressão provoca esse aumento. A prática e a teoria demonstram que existe um limite acima do qual a essa falha, denominada flambagem, ocorre. Esse limite depende do material e das características geométricas da barra. Em outras palavras, pode-se dizer que a flambagem de uma barra comprimida é a sua perda de estabilidade pela aplicação de um esforço de compressão acima de um valor crítico. Essa instabilidade ocorre devido a pequenas curvaturas conforme acima e também a outros desvios, como assimetrias, excentricidades, desalinhamentos, etc. É facilmente perceptível que a flambagem fica mais crítica com o aumento da esbeltez da barra, isto é, o aumento do seu comprimento em relação à área da seção transversal. Em muitos casos as tensões que provocam a flambagem são inferiores às tensões máximas de compressão dos materiais. Assim, a sua análise é importante no caso de elementos esbeltos de máquinas e de estruturas. Para estas últimas, colunas são em geral as partes mais susceptíveis à flambagem. 1.13. Normas de projeto ABNT 1.13.1. Processos de Criação de Norma As normas podem ser elaboradas em 4 níveis: Nível internacional - normas destinadas ao uso internacional, resultantes da ativa participação das nações com interesses comuns. Por exemplo, normas da ISO (International Organization for Standardization) e IEC (International Eletrotechnical Comission). Nível regional - Normas destinadas ao uso regional, elaboradas por um limitado grupo de países de um mesmo continente. Por exemplo: normas da CEN (Comitê Europeu de Normalização - Europa), COPANT (Comissão Panamericana de Normas Técnicas- Hemisfério Americano), AMN (Associação Mercosul de Normalização - Mercado Comum do Cone Sul). Nível nacional - Normas destinadas ao uso nacional, elaboradas por consenso entre os interessados em uma organização nacional reconhecida como autoridade no respectivo país. Por exemplo: normas da ABNT (Brasil); AFNOR (França); DIN (Alemanha); JISC (Japão) e BSI (Reino Unido). Nível de empresa - normas destinadas ao uso em empresas, com finalidade de reduzir custos, evitar acidentes, etc. 1.13.2. Processo de elaboração de Normas Brasileiras A sociedade brasileira manifesta a necessidade de se ter uma norma; • O Comitê Brasileiro (ABNT/CB) ou Organismo de Normalização Setorial (ABNT/ONS) analisa o tema e inclui no seu Programa de Normalização Setorial (PNS). • É criada uma Comissão de Estudo (CE), com a participação voluntária de diversos segmentos da Sociedade, ou incorporada esta demanda no plano de trabalho da Comissão de Estudos já existente e compatível com o escopo do tema solicitado. • A Comissão de Estudo (CE) elabora um Projeto de Norma, com base no consenso de seus participantes. • O Projeto de Norma é submetido à Consulta Pública (Consulte Boletins). • As sugestões obtidas na Consulta Pública são analisadas pela Comissão de Estudo (CE) e o Projeto de Norma é aprovado e encaminhado à Gerência do Processo de Normalização da ABNT para homologação e publicação como Norma Brasileira. • A Norma Brasileira poderá ser adquirida nos Escritórios Regionais da ABNT e nos diversos Postos de Venda espalhados pelo Brasil. Os ABNT/CB e ABNT/ONS mantêm Comissões de Estudo em atividade nas mais diversas áreas. Estas Comissões de Estudo são integradas voluntariamente por produtores, consumidores e neutros (universidades, laboratórios, centros de pesquisas e Governo) que, através de consenso, analisam e debatem propostas de Projetos de Norma. Obtido o consenso, o Projeto de Norma é aprovado e submetido à Consulta Pública, após o que poderá atingir à condição de Norma Brasileira. 1.14. Limite de escoamento Inelasticidade Acima de uma determinada tensão, conhecida como limite elástico ou limite de escoamento, a relação entre tensões e deformações se quebra. Além deste limite, o sólido pode deformar-se irreversivelmente, exibindo um comportamento plástico. O início da deformação plástica significa normalmente o colapso de uma estrutura. Além disso, não só os sólidos exibem elasticidade. Alguns fluidos não-Newtonianos, como os fluidos viscoelasticos, também vão exibir elasticidade em certas condições. 2. TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL 2.1. Introdução Um aspecto importante da análise e projeto de estruturas se relaciona com as deformações causadas pelas cargas aplicadas à estrutura. É importante evitar que as deformações se tornem tão grandes a ponto de impedir que a estrutura venha a cumprir os fins a que estava destinada sendo assim, a análise das deformações pode nos auxiliar na determinação das tensões. 2.2. Deformação específica sob carregamento axial Por definição é a deformação por unidade de comprimento. 2.3. Diagrama tensão-deformação δ x ε Cada material tem a sua própria curva obtida geralmente através do ensaio de tração, em uma amostra do material. É possível, no entanto distinguir algumas características comuns e agrupá-las em 2 (duas) importantes categorias: materiais dúcteis e frágeis. 2.3.1. Materiais dúcteis - Apresentam grande deformações antes de romper-se. - A ruptura ocorre sob tensão de cisalhamento a um ângulo de aproximadamente 45º. - Exemplos: aço estrutural, cobre. 1º ) Limite de proporcionalidade entre σ e ε. Valida a Lei de Hooke σ = E x ε Onde: E = módulo de elasticidade longitudinal. 2º) Limite de elasticidade 3º) Limite de escoamento (def. apreciável sem ter aumento apreciável de tensão) 4º) Limite de tensão máxima 5º) Limite de ruptura 2.3.2. Materiais frágeis - Se deformam relativamente pouco antes de romper-se; - Não ocorre a estricção; - Ruptura se dá por tensão normal em uma superfície perpendicular ao carregamento. - Exemplos: concreto, cerâmica, ferro fundido. 2.4. Tensões e deformações específicas verdadeiras A diferença entre a tensão de um uso prático σ = P/A0 e a tensão verdadeira σv= P/A, que se obtém com a divisão da carga P pela área da secção transversal deformada, torna-se visível nos materiais dúcteis em escoamento. A tensão de uso prático δ é diretamente proporcional a P, e seu valor diminui com P durante a estricção. A tensão verdadeira, que é proporcional a P, é também inversamente proporcional a A, e seu valor aumenta até a ruptura do corpo de prova. Muitos cientistas usam uma definição diferente de deformação específica, no lugar do valor de uso prático ε = δ/L0. Em vez de usar o alongamento total δ e o comprimento inicial L0, usam todos os valores sucessivos de L que foram anotados. Dividindo cada incremento ∆ε = ∆L / L. Definem então a deformação específica verdadeira como a somatória dos valores ∆ε: ) Quando se marcam em um gráfico os valores da tensão verdadeira e da deformação específica verdadeira reflete de maneira mais apurada o comportamento do material. Não ocorre queda no valor da tensão verdadeira durante a estricção e os resultado obtidos em ensaios de tração e compressão levam ao mesmo diagrama tensão-deformação. 2.5. Lei de Hooke ou Módulo de elasticidade As estruturas correntes são projetadas de modo a sofrerem apenas pequenas deformações, que não ultrapassem os valores do diagrama tensão-deformação correspondentes ao trecho reto do diagrama. Na parte inicial a tensão σ é diretamente proporcional a deformação específica ε e podemos escrever σ = E ε. Essa relação é conhecida como Lei de Hooke. O coeficiente E é chamado módulo de elasticidade do material, ou módulo de Young. Ao maior valor da tensão σ para o qual a Lei de Hooke é válida se denomina limite de proporcionalidade do material que quando este é dúctil e possui o início do escoamento em um ponto bem definido, o limite de proporcionalidade coincide com o ponto de escoamento, já para os outros materiais esse limite não se define tão facilmente, pois é difícil precisar em que ponto as tensões deixam de ser proporcionais as deformações. 2.6. Comportamento elástico e plástico dos materiais Um material tem comportamento elástico quando as deformações causadas por um certo carregamento desaparecem com a retirada do carregamento. Chama-se limite de elasticidade do material ao maior valor de tensão para o qual o material ainda apresenta comportamento elástico. Se o material atingir o escoamento e se deformar, quando a carga é retirada as tensões e deformações decrescem de maneira linear. O fato de ε não voltar ao ponto 0 (zero) indica que o material sofreu uma deformação permanente ou plástica. Na maior parte dos materiais a deformação plástica atingida não depende apenas da máxima tensão a que o material fica sujeito, mas sim, do tempo decorrido até a retirada do carregamento. 2.7. Cargas repetidas e fadiga Uma certa carga pode ser repetida muitas vezes, desde que as tensões permaneçam dentro de valores do regime elástico essa afirmativa é correta para um numero de repetições da ordem de dezena ou centena, mas para um numero de repetições do carregamento da ordem de milhares ou milhões de vezes, ela deixa de ser válida. Nesses casos, a ruptura se da a uma tensão bem abaixo da tensão de ruptura obtida com carregamento estático e a este fenômeno se da o nome de fadiga que é sempre uma ruptura frágil mesmo para materiais dúcteis. Fadiga é uma falha que pode ocorrer sob solicitações bastante inferiores ao limite de resistência do metal, isto é, na região elástica. É conseqüência de esforços alternados, que produzem trincas, em geral na superfície, devido à concentração de tensões. No exemplo da figura acima, uma barra submetida a um esforço de flexão alternado pode apresentar pequenas trincas em lados opostos A e B. Com a continuidade do esforço alternado, as trincas aumentam, reduzindo a área resistente da seção. A ruptura de dá quando essa área se torna suficientemente pequena para não mais resistir à solicitação aplicada (C). A fratura por fadiga é facilmente identificável. A área de ruptura C tem um aspecto distinto da restante, que se forma gradualmente. A fadiga é um processo progressivo, mas a ruptura é brusca e, assim, não é difícil imaginar o perigo que pode representar, uma vez que cargas variáveis ocorrem em inúmeros casos. Um ensaio de fadiga por flexão pode ser feito com um arranjo conforme figura acima. Um motor gira um corpo de prova C. Os rolamentos externos são fixos em apoios e os internos recebem uma carga P, produzindo um esforço de flexão alternado devido à rotação do corpo de prova. Portanto, um ciclo completo de flexão alternada é aplicado a cada volta do eixo e o número de voltas é registrado pelo contador A. Quando o corpo se parte por fadiga, o contador deixa de ser acionado e sua indicação é o número de ciclos que o corpo suportou com a carga P. Dadas as dimensões do corpo de prova, é possível calcular a tensão de flexão em função de P. Assim, repetindo o ensaio para diversos valores de P, é possível elaborar um gráfico relacionando o número de ciclos até a ruptura com a tensão de flexão (Figura acima).A curva superior é típica de um aço-carbono 0,5% C endurecido; a curva intermediária, de uma liga de alumínio e a inferior, de um ferro fundido. Pode-se notar que o aço tem um limite de resistência à fadiga, isto é, uma tensão abaixo da qual a vida da peça sob flexão alternada é teoricamente infinita. 2.8. Deformações de barras sujeitas a cargas axiais Tomemos uma barra homogênea BC de comprimento L e secção transversal uniforme de área A sujeita a força axial centrada P. Se s tensão atuante σ igual a P/A não exceder o limite de proporcionalidade do material podemos aplicar a Lei de Hooke e escrever: σ = E ε. Segue-se então que ε= σ/E = P/AE, sendo a deformação especifica ε = δ/L, portanto δ = εL e substituindo, temos: δ = PL / AE. Só pode ser usada se a barra for homogênea, tiver secção transversal uniforme de área constante A e a carga for aplicada nas extremidades da barra. 2.9. Problemas estaticamente indeterminados Em muitos problemas, as forças internas não podem ser determinadas apenas com os recursos da estática. As próprias reações, que são forças externas, não podem ser determinadas simplesmente desenhando o diagrama de corpo livre da peça e estudando suas equações de equilíbrio, que devem ser complementadas por outras relações envolvendo deformações, que podem ser obtidas considerando as condições geométricas do problema que são ditos estaticamente indeterminados, pois a estática não é suficiente para determinar as reações e esforços indeterminados. 2.10. Problemas envolvendo variação de temperatura Tomemos primeiramente uma barra homogênea e de secção transversal uniforme, apoiada em uma superfície lisa horizontal. Se aumentarmos a temperatura da barra de um valor ∆T, notamos que ela se alonga de um valor δT que é proporcional tanto a variação da temperatura quanto ao comprimento da barra. Temos então δT = α ( ∆T) L. α é a constante característica do material chamado de coeficiente de dilatação térmica. Como L e δT são expressos em unidades de comprimento, α representa uma quantidade por grau C ou por grau F. À deformação total δT está relacionada uma deformação específica εT = δT/L assim sendo concluímos que εT = α ∆T. εT é chamada deformação térmica especifica uma vez que é causada por variação de temperatura na barra considerando que não existem tensões relacionadas com a deformação ∆T. 2.11. Coeficiente de POISSON Temos um material homogêneo, isto é, suas varias propriedades mecânicas são independentes do ponto considerado, e esse material é isotrópico que suas varias propriedades mecânicas são também independentes da direção considerada. A deformação específica deve ser a mesma para qualquer direção transversal: εX = εY que esse valor é chamado de deformação especifica transversal. O valor absoluto da relação entre a deformação especifica transversal e a deformação especifica longitudinal é chamado de coeficiente de POISSON. É normalmente expresso pela letra grega ν. Temos então: Para as condições de carregamento, escrevemos as relações seguintes, que descrevem totalmente as condições de deformações especificas sob carga axial paralela ao eixo x: εy= εz= (-ν σ x)/E 2.12. Lei de Hooke generalizada  (deformação específica) x = Alongamento na direção x Δl = x . lx y = contração ou diminuição na direção transversal y (deformação transversal) t = - ν .  e y = t  y = - ν .   y = - ν . σx / E z = contração ou diminuição na direção transversal z (deformação transversal) t = - ν .  e z = t  z = - ν .   z = - ν . σx / E assim temos: Estado triaxial de tensões σx , σy e σz → positivo (tração) x = xx + xy + xz, onde: x → alongamento na direção x, causado por σx xy → encurtamento na direção x, causado por σy xz → encurtamento na direção x, causado por σz x = xx + xy + xz Assim podem ocorrer três estados de tensão: - Triaxial - Biaxial - Uniaxial 2.13. Coeficiente de dilatação térmica 2.13.1. Dilatação térmica linear L = o quanto o corpo aumentou seu comprimento Lo = comprimento inicial do corpo  = coeficiente de dilatação linear (depende do material) variação da temperatura ( Tf - Ti ) Vale destacar que o coeficiente de dilatação linear (α) é um número tabelado e depende de cada material. Com ele podemos comparar qual substância dilata ou contrai mais do que outra. Quanto maior for o coeficiente de dilatação linear da substância mais facilidade ela terá para aumentar seu tamanho, quando esquentada, ou diminuir seu tamanho, quando esfriada. Outra coisa interessante de notar é que, se soubermos o valor do coeficiente de dilatação linear (α ) de uma determinada substância, poderemos também saber o valor do coeficiente de dilatação superficial (β) e o coeficiente de dilatação volumétrica (γ) da mesma. 2.13.2. Dilatação térmica superficial Ao quanto o corpo aumentou sua área Ao = área inicial do corpo β = coeficiente de dilatação superficial (varia com o material) ΔT = variação de temperatura ( Tf – Ti) 2.13.3. Dilatação térmica volumétrica ΔV = o quanto o corpo aumentou seu volume V = volume inicial do corpo coeficiente de dilatação volumétrica (varia com o material) ΔT = variação de temperatura ( Tf – Ti) Obs: L , A ou V positivos significa que a substância aumentou suas dimensões. L , A ou V negativos significa que a substância diminuiu suas dimensões. 2.14. Fórmulas de SIMPSON 2.14.1. Método de SIMPSON No Método de Simpson, ou Método das Parábolas, divide-se o intervalo de integração (a,b) em n partes iguais, sendo n par. Constrói-se a tabela dos pontos n+1 pontos (xi , yi ), onde x0 = a e xn = b. X x0 = a x1 x2 ... xn-1 xn = b Y y0 y1 y2 ... yn-1 yn Traça-se, por cada dois intervalos consecutivos, isto é cada três pontos, uma parábola (segundo grau). Acha-se a integral de cada parábola, admitindo-se que essa integral seja uma boa aproximação da integral da função original. Haverá, assim, n/2 parábolas. Somando-se as integrais dessas n/2 parábolas, tem-se uma aproximação da integral da função. Tomemos os dois primeiros intervalos (x0 , x1) e (x1 , x2). Tem-se a tabela a seguir: X x0 x1 x2 Y y0 y1 y2 onde: x1 – x0 = h e x2 – x1 = h. Vamos construir a parábola (do segundo grau) que passa pelos três pontos dados e, em seguir, vamos integrar essa parábola, achando a área entre a curva e o eixo de X. Claro que essa área não se altera se deslocamos o eixo de Y para a posição x = x1 . Figura abaixo: Ficamos com a tabela: X -h 0 +h Y y0 y1 y2 Seja Y = A X2 + B X + C a parábola que passa pelos três pontos dados. y0 = A (-h)2 + B (-h) + C = A.h2 – B.h + C y1 = A (02) + B(0) + C = C y2 = A (h)2 + B (h) + C = A.h2 + B.h + C (equações 1) Calculemos a integral da parábola de –h a +h. I1 = 2Ah3/3 + 2Ch = (2Ah2 + 6C) h/3 = (2Ah2 + 2C + 4C ) h/3 Porém, das equações 1 acima, somado-se a primeira com a terceira, tem-se: y0 + y2 = 2Ah2 + 2C da segunda equação, tem-se: y1 = C Logo: I1 = (y0 + 4 y1 + y2 ) h/3 = h/3 (y0 + 4 y1 + y2 ) Esta é uma fórmula simples que permite calcular a integral da parábola que passa pelos 3 pontos. X -h 0 +h Y y0 y1 y2 Se tomarmos esses 3 pontos e deslocarmos o eixo de y, paralelamente, a área sob a parábola não se altera, isto é, a integral da parábola não muda. Assim, dados três pontos X x0 x1 x2 Y y0 y1 y2 onde: x1 – x0 = h e x2 – x1 = h, tem-se: Voltando-se à tabela total original, tem-se: X x0 = a x1 x2 ... xn-1 xn = b Y y0 y1 y2 ... yn-1 yn Esta é a fórmula de Simpson para cálculo de integral definida. Como exemplo, vamos calcular a integral abaixo: Tomemos n = 2. O intervalo h vale h = (1-0)/2 = 0,5 X 0,00000 0,50000 1,00000 Y = ex 1,00000 1,64872 2,71828 O erro vale portanto: e = 1,71828 – 1,71886 = -0,00058 Tomemos agora n = 4, com h = (1-0)/4 = 0,25 X 0,000000 0,250000 0,500000 0,750000 1,000000 Y 1,000000 1,284025 1,648721 2,117000 2,718282 Erro = - 0,000037 De fato, pode-se demonstrar, veja bibliografia anexa, que o erro cometido quando se calcula uma integral pelo Método de Simpson é dada por: e = I – A = - (b-a) h4 fiv(ε)/180 , onde a < ε < b . Sendo h = (b-a) / n , pode-se escrever o erro como sendo: e = - (b-a)5 . fiv(ε) /(180 n4). Calculemos, para n=2, o maior erro, em módulo, possível: fiv (x) = ex logo fiv (ε) = exp(ε) < e1 = 2,72 |e| < (1-0)5.2,72/(180.24) =0,00095 , maior que 0,00058 que foi o erro encontrado. Para n = 4, tem-se: |e| < (1-0)5.2,72/(180.44) = 0,000059 , maior que 0,000037, erro encontrado. De novo, é bom frisar que o erro estimado, a cota superior do erro, é maior que o erro real, pois no cálculo do erro deve-se prever sempre o pior caso, de modo que o erro estimado fica maior que o erro real, em geral desconhecido. Observa-se, ainda, que o erro com n = 4 é aproximadamente o erro com n = 2, dividido por 16, pois o erro no método de Simpson é aproximadamente proporcional ao inverso de n4. Assim, dobrando-se n o erro cai 24 = 16 vezes, aproximadamente. 2ª PARTE 1. EXERCÍCIOS TEXTUAIS 1 - O que se entende por tenacidade? Segundo a tenacidade de que forma se caracteriza um material? Resp.: É a energia mecânica, ou seja, o impacto necessário para levar um material à ruptura. Se um material é tenaz ele pode sofrer um alto grau de deformação sem romper. O material se caracteriza como sendo friável, maleável, séctil, dúctil, flexível e elástico. 2 - O que é estricção? Resp.: É quando o carregamento atinge um certo valor máximo e o diâmetro do corpo de prova começa a diminuir devido a perda de resistência local. 3 - O que é encruamento de metais e por que ocorre? Resp.: É definido como o endurecimento por deformação plástica, isso ocorre devido basicamente por que os metais se deformam plasticamente por movimento de discordâncias e estas interagem diretamente entre si ou com outras imperfeições ou indiretamente com o campo de tensões internas de várias imperfeições e obstáculos. 4 - O que seria a relação entre a vazão e nível do rio e que permite estimar as vazões a partir de observações de nível? Resp.: A curva de descarga. 5 - Quais os níveis em que as normas podem ser abordadas?Explique-os. Resp.: Nível internacional - normas destinadas ao uso internacional, resultantes da ativa participação das nações com interesses comuns. Por exemplo, normas da ISO (International Organization for Standardization) e IEC (International Eletrotechnical Comission). Nível regional - Normas destinadas ao uso regional, elaboradas por um limitado grupo de países de um mesmo continente. Por exemplo: normas da CEN (Comitê Europeu de Normalização - Europa), COPANT (Comissão Panamericana de Normas Técnicas- Hemisfério Americano), AMN (Associação Mercosul de Normalização - Mercado Comum do Cone Sul). Nível nacional - Normas destinadas ao uso nacional, elaboradas por consenso entre os interessados em uma organização nacional reconhecida como autoridade no respectivo país. Por exemplo: normas da ABNT (Brasil); AFNOR (França); DIN (Alemanha); JISC (Japão) e BSI (Reino Unido). Nível de empresa - normas destinadas ao uso em empresas, com finalidade de reduzir custos, evitar acidentes, etc. 6 - Cite algumas das características dos materiais dúcteis e dos materiais frágeis. Exemplifique. Resp.: Dúcteis → apresentam grandes deformações antes de romper-se, a ruptura ocorre sob tensão de cisalhamento a um ângulo de aproximadamente 45º. Ex.: aço estrutural e cobre. Frágeis → se deformam relativamente pouco antes de romper-se, não ocorre estricção, a ruptura se dá por tensão normal em uma superfície perpendicular ao carregamento. Concreto, cerâmica e ferro fundido. 7- O que você entende por fadiga? Resp.: é uma falha que pode ocorrer sob solicitações bastante inferiores ao limite de resistência do metal, isto é, na região elástica. 8 - Explique o que se entender por problemas estaticamente indeterminados? Resp.: Em muitos problemas, as forças internas não podem ser determinadas apenas com os recursos da estática. As próprias reações, que são forças externas, não podem ser determinadas simplesmente desenhando o diagrama de corpo livre da peça e estudando suas equações de equilíbrio, que devem ser complementadas por outras relações envolvendo deformações, que podem ser obtidas considerando as condições geométricas do problema que são ditos estaticamente indeterminados, pois a estática não é suficiente para determinar as reações e esforços indeterminados. 9 - Cite os tipos de dilatação térmica. Resp.: Linear, superficial e volumétrica. 10 - Defina um material isótropo. Resp.: O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as direções. Ex: As madeiras apresentam, nas direções das fibras, características mecânicas e resistentes distintas daquelas em direção perpendicular e portanto não é considerada um material isótropo. 11 - Explique o princípio da superposição de efeitos. Resp.: Os efeitos causados por um sistema de forças externas são a soma dos efeitos produzidos por cada força considerada agindo isoladamente e independente das outras. A fim de compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação das propriedades dos materiais, nos pressupostos ou nas simplificações, é previsto nas Normas Técnicas a adoção de coeficientes de segurança. Consiste em se majorar as cargas e se reduzir a resistência dos materiais. 12 - Descreva os tipos de elementos estruturais. Resp.: blocos - os blocos são elementos estruturais nos quais tem-se as três dimensões(imaginando-se um retângulo envolvente) com valores significativos numa mesma ordem de grandeza. placas - são elementos estruturais para os quais uma das dimensões (espessura) é bastante inferior às demais. As “placas” curvas são denominadas de cascas. barras - são elementos estruturais para os quais duas das dimensões (largura e altura) são bastante inferiores `a terceira (comprimento). Podem ser retas (vigas, pilares, tirantes e escoras) ou curvas (arcos). elementos de forma geométrica de difícil definição - estes elementos estruturais apresentam dificuldades na descrição de seu comportamento físico mas não são menos numerosos que os demais. Num conceito amplo de estrutura estes elementos podem fazer parte da estrutura de um motor, um esqueleto humano ou uma peça mecânica ou mesmo uma estrutura civil mais rebuscada. 13 - Conceitue cálculo estrutural. Resp.: A idéia de cálculo estrutural pode ser dividida em três frentes de trabalho não independentes: • Fase 1 - Ante-projeto da estrutura: Nesta fase uma concepção inicial do projeto é criada. A estrutura pode ser um edifício, um navio, um avião, uma prótese óssea, uma ponte, etc. As dimensões das peças estruturais são arbitradas segundo critérios técnicos e empíricos. • Fase 2 - Modelagem. Modelar um fenômeno físico é descrever seu comportamento através de equações matemáticas. Neste processo parte-se normalmente de um modelo que reúne as principais propriedades do fenômeno que se deseja modelar. No caso de estruturas, os modelos estruturais são constituídos de elementos estruturais. A partir do conhecimento do comportamento dos elementos estruturais e do carregamento envolvido são determinadas as deformações e tensões a que a estrutura está submetida. No caso de barras, uma boa parte desta tarefa pode ser realizada com o auxílio dos conhecimentos a serem obtidos nesta disciplina (Resistência dos Materiais). • Fase 3 - Dimensionamento das peças. Nesta fase é necessário o conhecimento de questões específicas de cada material que constituı a estrutura (aço, madeira, alumínio, concreto, etc). Este conhecimento será adquirido em cursos específicos. Nesta fase é possível que se tenha necessidade de retornar á Fase 1 pois os elementos estruturais podem ter sido sub ou super avaliados. Neste caso parte-se para um processo recursivo até que o grau de refinamento requerido para o projeto seja alcançado. 14 - Quais são as hipóteses básicas e/ou pressupostos da Resistência dos Materiais? Resp.: Continuidade física, homogeneidade, isotropia, equilíbrio, pequenas deformações, Saint Venant, Seções planas, conservação das áreas, Lei de Hooke. 15 – Sobre a questão anterior, explique cada um dos itens citados. Resp.: Continuidade Física → a matéria apresenta uma estrutura contínua, ou seja, são desconsiderados todos os vazios e porosidades. Homogeneidade → o material apresenta as mesmas características mecânicas, elasticidade e de re resistência em todos os pontos. Isotropia → O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as direções. Equilíbrio → se uma estrutura está em equilíbrio, cada uma de suas partes também está em equilíbrio. Pequenas deformações → as deformações são muito pequenas quando comparadas com as dimensões da estrutura. Saint-Venant → sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em pontos suficientemente afastados da região de aplicação de cargas. Seções planas → a seção transversal, após a deformação, permanece plana e normal à linha média. Conservação das áreas → a seção transversal, após a deformação, conserva as suas dimensões primitivas. Lei de Hooke → a força aplicada é proporcional ao deslocamento. 2. EXERCÍCIOS DISCURSIVOS 3. BIBLIOGRAFIA Ferdinand P.Beer/E.Russel Johnston, Jr. “Resistência dos Materiais”. Ed. Mc Graw Hill do Brasil Ltda. Popov, E.P. “Resistência dos Materiais”, PHB http://pt.wikipedia.org/wiki/Tenacidade http://cursos.unisanta.br/mecanica/ciclo8/anexo2-encruamento-provisorio.pdf http://www.lactec.org.br/OInstituto/downloads/Biblioteca/2003/068_2003.pdf http://www.mspc.eng.br/ciemat/ensaio130.shtml http://www.mspc.eng.br/matr/resmat0810.shtml http://www.unifra.br/professores/mariaisabel/POL%C3%8DGRAFO%20DE%20RESIST%C3%8ANCIA%20DOS%20MATERIAIS%20(UNIFRA).doc http://www.poliuretanos.com.br/Cap8/8125Compressao.htm http://br.geocities.com/galileon/2/dilatacao/dilat.htm